単勝の人気別投票率について、一つ一つ確率密度を推定した結果を比較すると、推定の基になるデータの違いは殆どありませんでした。今回のデータの分割は、レースを開催日で前半と後半に分けていますので、勝負けの確率が開催日に依存していない事になります。これは、本当でしょうか？

ということで、二つの人気順の投票率を組み合わせた時の確率密度の分布を見てみると、以下の図のようになります。

　リカ型2号に向けて、確率密度を実データから推定してみようという事で、馬連の投票率データから確率密度を推定してみました。

が、実はそう簡単ではなく1レースの出走馬数だけ変数があるのですが、使っている分析ツール「R」では最大6変数の密度推定が限度です。じゃーまずは6頭分のデータ使って推定だ、でまた問題が。年間約3000程のレースがありますが、1年分のデータ数でも、メモリを大量に消費して推定が行えません。じゃー、レースも分割してから答えを得ようという事で、2007年の年末2000レースのデータを使って推定した、馬連1-2が勝った時の密度分布が次の図です。

　11月は、マチ型1号が通算でプラスとなりました！

マチ型の予想は、全般的に悪くない感じがするので、リカ型の修正が完了したら、この方面の精密化を進めて行きたいと思ってます。

　逆にリカ型1号は絶不調ですが、こちらは予想の範囲内。リカ型2号に向けて準備も着々と進んでいますんで（11月のブログ参照）、こっちも上げて行きますよ。

　方向性が定まらないのがタキ型。どう進化させたら良いのかなぁ。まあ、マチ型とリカ型を確定させて、それとは違うモノの見方で定式化することになるんだろうなぁ。使ってるツールは違いますが、現在のタキ型1号の仕様はリカ型とベースのところでつながってしまってるんで、もうちょっと違う視点が欲しいところ。なにか良いアイデアありませんかね？

　前回行った定式化を用いて密度関数を推定します。前回の終わりにMISE(h)を直接推定する事が困難なため、近似を行った推定がいくつか提案されていると書きましたが、逆に言うと最も有効な確立した方法が無い状況でもあります。

　話を始める前に、前回導入したカーネル関数に仮定されている性質を書くと次のようになります。

　ヒストグラムから分布関数（確率密度関数）を推定する方法を３回に渡って説明しましたが、言葉足らずの部分もありましたので頭の整理もかねて補足しておきます。

　今回のテーマでやりたい事は、ある事象の起こる確率密度又は確率が知りたい訳です。ところがデータは事象が起こったか起こらなかったかを教えてくれるだけなので、背後にある真の確率密度又は確率（これまでの説明だと g(x) ）が判らない場合、多くのデータサンプルを集めて確率を計算することになります。

　あるデータ点の値を取る事象の起こる確率は、データサンプルを階級に分けた時の度数から求めることができるので、ヒストグラムの頂点を繋いで行けば確率の関数の各点での値が判るという訳です。

　そこで任意のデータの値に対する確率が知りたい時は、ヒストグラムの頂点を結ぶ曲線の式を求めておけば良いことになります。従って点の集まりが与えられた時にその点を結ぶ曲線の推定する事が、連続分布を求める１つ目の主要な要素になります。点の集まりに対する関数の推定は、スプライン補間法や、フーリエ分解、ウェーブレットを利用した方法など多くの方法が提案されています。説明したカーネル関数の線形和を用いた補間法はフーリエ分解やウェーブレットを利用した補間法の一種だと考えることができます。

　分布関数の推定では、補間すべき点の集まりがヒストグラムの頂点となる事は述べましたが、分布関数推定についての説明の第1回目で述べたように、頂点の値は階級の幅に依存します。従って確率の関数の推定を正しく行うためには、正しい補間点が必要で、言換えるとヒストグラムの頂点の値が、真の関数値と出来るだけ近い値を取るように、階級幅を決める事が必要となります。これが、連続分布を求める２つ目の主要な要素です。

　カーネル密度推定法では、上記の２つの要素を同時に解こうとしているのですが、その一方で背後にある真の確率が判っている時に、分布関数の特徴をもっともよく表すヒストグラムを描く際に使われる、最適な階級幅を決める手法（１回目と２回目で説明した手法です）ともよく似ているので混同し易く、注意が必要です。前回までの説明にはこのような説明も無く、判り難いので補足しておきます。

　最初に述べたように、他に比べて秀でた近似法が確立されていないため、近似法と数値的な関数の評価法によって種々の方法が提案されています。

　そこで g(x) の関数形が全く分からない状況においても h の最適値を求めることができる方法について考えることにします。この場合は、まず ^f(x;h) が、ある関数（カーネル関数）の線形和で表せるとして、以下のように定義するところからスタートします。ここで、x_i は、実際に観測した点（確率変数の観測点）を表します。また、カーネル関数 K(u) は、通常、ガウス関数のように対称な確率密度関数が使われます。

　以上で最適な連続関数推定の定式化と推定への道筋の説明が出来ました。ところが、よく使われるガウス関数をカーネル関数として採用しても、計算すべき MISE(h) は、閉じた解析解で書く事が出来ず、積分が有るため計算も困難です。そこで、近似を行って MISE(h) を評価する方法がいくつか提案されています。

　これについては明日続けて説明しますので、お楽しみに。

　MISE(h) を用いた最適な階級幅 h の推定は、次のように定式化できます。

　バイアスは階級幅が大きい程大きな値を取り、逆に分散は、階級幅が小さくなる程大きくなります。

　これは、g(x₀) ; x₀ ∈ C_k の漸近表現を用いた以下の近似による評価からも判ります。